Péndulos.

Se define como una partícula de masa m, que se encuentra suspendida del punto O por un hilo de longitud y masa despreciable.
Cuando una  partícula se desplaza a una posición q₀ (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos: El peso mg y la tensión T del hilo.

La idea es descomponer el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg.senq  en la dirección tanfencial y mg.cosq  en dirección radial.

Ecuación del movimiento en la dirección radial

La aceleración de la partícula es a_n=v²/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular.
La segunda ley de Newton se escribe
ma_n=T-mg·cosq
Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular q  podemos determinar la tensión T del hilo.
La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio, T=mg+mv²/l
Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosq₀

Principio de la conservación de la energía. 

En la posición θ=θ₀ el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio.

En la posición extrema θ=θ0, la energía es solamente potencial. E=mg(l-l·cosθ0) En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial

La energía se conserva

v²=2gl(cosθ-cosθ₀)

La tensión de la cuerda es

T=mg(3cosθ-2cosθ₀)

La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ₀ (la velocidad es nula). 

Ecuación del movimiento en la dirección tangencial

La aceleración de la partícula es a_t=dv/dt.
La segunda ley de Newton se escribe
ma_t=-mg·senq
La relación entre la aceleración tangencial a_t y la aceleración angular a es a_t=a ·l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial

 (1)

Medida de la aceleración de la gravedad

Cuando el ángulo q  es pequeño entonces, senq » q , el péndulo describe oscilaciones armónicas cuya ecuación es
q =q₀·sen(w t+j )
de frecuencia angular w²=g/l, o de periodo

La ley de la gravitación de Newton describe la fuerza de atracción entre dos cuerpos de masas M y m respectivamente cuyos centros están separados una distancia r.
La intensidad del campo gravitatorio g, o la aceleración de la gravedad en un punto P situado a una distancia r del centro de un cuerpo celeste de masa M es la fuerza sobre la unidad de masag=F/m colocada en dicho punto.

su dirección es radial y dirigida hacia el centro del cuerpo celeste.
En la página dedicada al estudio del Sistema Solar, proporcionamos los datos relativos a la masa (o densidad) y radio de los distintos cuerpos celestes.
Ejemplo:
Marte tiene un radio de 3394 km y una masa de 0.11 masas terrestres (5.98·10²⁴ kg). La aceleración g de la gravedad en su superficie es

Tenemos dos procedimientos para medir esta aceleración

Cinemática
Se mide con un cronómetro el tiempo t que tarda en caer una partícula desde una altura h. Se supone que h es mucho más pequeña que el radio r del cuerpo celeste.

Oscilaciones
Se emplea un instrumento mucho más manejable, un péndulo simple de longitud l. Se mide el periodo de varias oscilaciones para minimizar el error de la medida y se calculan  el periodo P de una oscilación. Finalmente, se despeja g de la fórmula del periodo.
De la fórmula del periodo establecemos la siguiente relación lineal.

Se representan los datos "experimentales" en un sistema de ejes: P2/(4p2) en el eje vertical y La longitud del péndulo l en el eje horizontal. La pendiente de la recta es la inversa de la aceleración de la gravedad g.

Actividades

Se selecciona un cuerpo celeste de la lista de cuerpos celestes, en el control selección titulado Planeta
Se establece la longitud l del péndulo en cm, actuando en la barra de desplazamiento.
Se pulsa el botón titulado En marcha, para poner en marcha el cronómetro, se pulsa el misma botón titulado Parar, para medir el intervalo de tiempo. En esta "experiencia" se mide el tiempo de cinco oscilaciones
Se cambia la longitud del péndulo y se realiza una nueva medida y así sucesivamente.
En el control área de texto, situado a la izquierda del applet se recoge los datos "experimentales", longitud del péndulo (en m) periodo (de una oscilación en s). Cuando se tienen suficientes datos se pulsa el botón titulado Gráfica.
El programa interactivo traza la recta cuya pendiente es la inversa de la aceleración de la gravedad g y los datos "experimentales" en forma de puntos de color rojo.